dynamische systemen

adaptieve architectuur. Een interessante hedendaagse koppeling tussen biologie en architectuur is gevonden in adaptiviteit. Adaptiviteit in architectuur heeft betrekking op veranderlijkheid van de gebouwde omgeving door wisselwerking met zijn omgeving. Dit kan bijzondere esthetische mogelijkheden bieden en tevens voordelen hebben in het reduceren van het gebruik van materiaal en ruimte. Hier kom ik later op terug.

dynamische systeem. Adaptiviteit heeft naast een fysieke  en ruimtelijke component ook een tijdscomponent. Dit systeem past zich aan in vorm, ruimte en/of in tijd.

Een eenvoudig voorbeeld van een dynamisch systeem is het prooi-predator systeem. Dit systeem beschrijft de populatiegrootte van 2 organismen die onderlinge afhankelijkheid zijn. Dit systeem is bekend als het Lotka-Volterra model.

prooi-predator systeem. Predatoren zijn afhankelijk van prooidieren en omgekeerd. Als een populatie prooidieren groot is, kan het aantal predatoren toenemen. Er is immers voldoende voedsel voor nakommelingen. Deze groei heeft echter een grens. Bij een bepaalde populatiegrootte is de sterfte gelijk aan de reproductie, door een te kort aan voedsel en door toegenomen onderlinge concurrentie. De populatie predatoren krimpt waardoor de prooidieren de kans krijgen om zich weer te herstellen. Zo ontstaat een golvend patroon in de tijd. De “vorm” van de cyclus is o.a. afhankelijk van de reproductieratio van prooi- en roofdieren.

evenwichten. Dit golfpatroon kan na een tijdje terugkomen in de oorspronkelijke situatie: een temporeel evenwicht. Na een constante periode ontstaan dezelfde populatiegrootten opnieuw. De populatiegrootten veranderen dus continu maar de lengte van de cyclus is een constante. Eenvoudiger is het spatieel evenwicht waarbij het golfpatroon zich uitvlakt waarbij de populatiegrootten een constante zijn. Beide typen evenwichten zijn gevoelig voor verstoring van buitenaf. De mate robuustheid zegt iets over de stabiliteit van het evenwicht.

De reproductieratio parameter (en nog een aantal andere) levert voor dit systeem een reeks spatiele, temporele, stabiele en instabiele evenwichten. Deze hele reeks vormt een berglandschap waarin de dalen lokale stabiele evenwichten zijn en de bergtoppen lokale instabiele evenwichten. Een verstoring (een aanpassing van één of meerdere parameters) duwt het systeem vanuit een dal over een berg waarbij het systeem in een nog stabieler evenwicht kan worden gebracht.

evenwichtslandschap. Elk systeem met wisselwerking van elementen (agents) kan in een berglandschap van evenwichten worden gevisualiseerd.  Een systeem van wielrenners, museumbezoekers, vogels, moleculen of neuronen levert een landschap op met evenwichten. Deze evenwichten zijn specifiek voor de parameterset en het type agent.

agenttype 1: Een wielrenner is agent van het type: een potentieel bewegend onvervormbaar fysiek object in de ruimte. De parameterset van een groep wielrenners bestaat o.a. uit de breedte van de weg en de onderlinge afstand tussen de wielrenners. De wisselwerking tussen wielrenners bestaat voornamelijk uit de wind fietsen door vlak achter een ander te fietsen (onderlinge aantrekking) maar niet te dichtbij omdat de kans op valpartijen groter wordt (onderlinge afstoting). Deze set parameters leveren gedurende de koers een reeks dynamische vormen van het peloton op. Vaak is zo’n vorm gedurende een lange periode stabiel. Kenners kunnen uit de vorm opmaken of snel, langzaam, gespannen of ontspannen wordt gefietst.

PIC433146162

Vogels en mensen zijn ook van dit agenttype. Ze hebben ook een vergelijkbare parameterset. Zij vormen daardoor ook vaak clusters in de vorm van zwermen of scholen.

MINOLTA DIGITAL CAMERA

agenttype 2: Een neuron is van een ander agenttype. Een neuron beweegt niet maar kan specifiek gedrag vertonen afhankelijk van het gedrag van buurneuronen. Men zegt dat een neuron zich in een bepaalde toestand (state) bevindt. Bij neuronen is het aantal toestanden beperkt (overgesimplicifeerd: in rust of exciterend). Het evenwichtslandschap van een groep interacterende neuronen bestaat uit gezamenlijke excitatie of “golvende” exciterende deelgebieden, waarbij je vaak stabiele of bewegende excitatie patronen ziet. Hoewel het evenwichtslandschap evenwichten herbergt die enorm complexe structuren van excitatie kunnen laten zien, heeft de parameterset vrijwel alleen betrekking op de hoeveelheid gekoppelde buurneuronen en de  ‘excitatiebereidheid’ van een neuron op een excitatie van een buurneuron.

Dit evenwichtslandschap vertoont gelijkenissen met het gedrag van groepen vuurvliegjes. Vuurvliegjes kunnen gezamelijk in fase of pulserend oplichten. Dit patroon zie je ook in EEG’s in en tussen verschillende hersengebieden. Wellicht zou je aan de hand hiervan kunnen concluderen dat vuurvliegjes van neuron-agenttype zijn: niet bewegend en toestand afhankelijk van buuragent, met parameterset: aantal waarneembare buurvuurvliegjes en “oplichtbereidheid”.

Vuurvliegjes kunnen echter vliegen en zijn dus niet altijd van dit agenttype.

agenttype 3: Mieren zijn bewegende fysieke objecten die in groepen met grote aantallen interacteren. Een mier kan een een chemisch spoor (feromoon) achterlaten. Het feromoon vertelt andere mieren dat op deze plek een nestgenoot is geweest. Het feromoon vervliegt na verloop van tijd. Een mier kan zodoende reageren op een afwezige mier en kan nagaan hoe lang het geleden is dat zij hier is geweest. Verschillende soorten feromonen geven informatie over aanwezigheid van voedsel, gevaar of soortgenoten. Deze informatie levert een communicatiemethode op die de wisselwerking tussen mieren enorm complex maakt.

Deze complexiteit zorgt ervoor dat vaak alleen het groepsgedrag wordt bekeken (als een evenwicht in het evenwichtslandschap) zonder dat duidelijk is wat de agents zijn en wat de parameterset precies is. De mieren zijn als agents an sich relatief eenvoudig en vergelijkbaar met wielrenners. De complexe informatieoverdracht tussen agents vertroebelt echter het zicht op de parameterset. Bij het bestuderen van verschillende soorten groepsgedrag van een mierensoort is niet altijd zeker of de parameterset gelijk is. Het is dan ook vaak niet meer duidelijk of het groepsgedrag een evenwichtsvorm is of een emergente eigenschap. Het toepassen van computermodellen waarbij de informatieoverdracht wordt versimpeld, geeft inzicht in hoe rijk geschakkeerd het evenwichtslandschap eruit kan zien. Een belangrijke parameter is de mate van diffusie van het feromoon.

Het vinden van de kortste weg naar een voedselbron is een intensief onderzochte vorm van groepsgedrag bij mieren. Het is opmerkelijk dat een groep kleine individuen zonder een sterk ontwikkeld zenuwstelsel als groep relatief complexe taken kan volbrengen.

Hoe gaat dit in zijn werk? Verkenners proberen diverse routes naar een voedselbron of nest. Hierbij laat ieder individu een fermoon achter. Als elke route door een gelijk aantal nestgenoten wordt gevolgd dan zal de geurconcentratie van de kortste route automatisch het grootst worden. Steeds meer mieren zullen deze route bewandelen totdat ze allemaal deze route bewandelen. Op een bepaald moment ontstaat er dus een zichzelfversterkend effect.

steinerpunten_tanya latty

bron: Kennislink

Mieren vinden ook de kortste route tussen meerdere voedselbronnen waarvan de oplossing niet direct voor de hand ligt. Dit is ook bekend als het handelsreizigersprobleem: het vergt exponentieel meer rekenkracht om de kortste route te bepalen met een toenemend aantal steden. De kortste route, bijvoorbeeld, tussen 4 voedselbronnen (waarvan de punten op de hoeken op van een rechthoek liggen). zie mieren vinden Steinerpunten.

De Steinerpunten zijn punten waarin 3 routes samenkomen waarvan de hoeken onderling 120° zijn. Steinerpunten komen ook voor bij 2 aan elkaar geplakte zeepbellen. De oppervlaktespanning van zeepbellen streeft naar een zo klein mogelijk oppervlak, waardoor er op een hoekpunt een stelsel van krachten werkt dat zoekt naar een stabiel evenwicht, dat ontstaat als de hoeken 120° zijn.

De interactie tussen mieren en feromomen en een fysisch – zeepbel – systeem kunnen leiden tot vergelijkbare oplossingen. Beide systemen laten de neiging zien om het systeem te optimaliseren door het energiegebruik te minimaliseren.

complexe systemen.  De ogenschijnlijk gecoördineerde vorm of activiteit wordt een emergente eigenschap van het systeem genoemd. Het is een eigenschap dat niet op lokaal niveau is “ingeprogrammeerd”, maar in een hogere orde van organisatie vanzelf ontstaat.

De veranderde ruimtelijke vormen van zwermen bijvoorbeeld gedragen zich soms solide en soms als een vloeistof. De dynamica van groepen mensen wordt vaak met vloeistofmodellen beschreven. Voetbalstadions en treinstations worden vloeistofmodellen ontworpen.

Als een solide vorm overgaat in liquide vorm (of vv) dan spreekt men van een faseovergang genoemd. Dus ergens in het evenwichtslandschap bevindt zich een parameterinstelling (of meerdere) waar een evenwicht solide eigenschappen heeft en vlak daarnaast een evenwicht met liquide eigenschappen. Een faseovergang is een emergente eigenschap.

Als je hier over nadenkt, zie je overal emergente eigenschappen. Het molecuul is bijvoorbeeld een emergente eigenschap van een verzameling atomen en een atoom is op zijn beurt dat van het samenspel van subatomaire deeltjes. Je kan zeggen dat elk agent op zichzelf een emergente eigenschap is van een systeem dat op een kleiner niveau werkt.

complexe adaptieve systemen en zelforganisatie.  Sommige systemen hebben een emergente eigenschap die een (negatieve of positieve) invloed op het functioneren van de agents zelf hebben. Deze wederkerigheid tussen 2 organisatieniveau’s kan leiden tot zelforganisatie (ook wel autopoiese genoemd). Deze systemen zijn soms erg flexibel en kunnen zich aan veranderende omstandigheden aanpassen. Ze zijn erg bestand tegen “tikken”. Deze systemen worden complexe adaptieve systemen (oftewel CAS) genoemd.

In de natuur zijn interessante voorbeelden te vinden. Een mierenkolonie “leert” de kortste route naar een voedingsbrond zonder een ingeprente kaart of een volledig totaaloverzicht. De slijmzwam kan – instantaan – een route door een labyrinth vinden door alle wegen tergelijkertijd na te gaan en te “kiezen” voor de goede route. Het bijzondere is dat deze strategie van de slijmzwam veel lijkt op quantum computing, waarin tegelijkertijd (in superpositie) verschillende berekeningen worden uitgevoerd.

bioarchitectuur en adaptiviteit. Is het mogelijk dat een vorm van architectuur kan ontstaan uit een complex adaptief systeem? Kan de ontwikkeling van een stad, een gebouw of een ruimtelijke structuur ontstaan als een emergente eigenschap van adaptief complex systeem? Bestaat zelforganiserende architectuur? En hoe ziet dit eruit?

een ander soort agent: van object naar een ruimtelijke structuur. We bekeken eerder het gedrag van een groep potentieel bewegende objecten in een ruimte (agenttype 1). In architectuur gaat het enerzijds om objecten maar minstens zo vaak om vormgeving van ruimten.

Een architectonisch agenttype is een elementaire, bewegende en vervormbare ruimte dat interacteert met dezelfde enititeiten. De agent is begrensd door een bouwkundige schil dat de vorm van de ingenomen ruimte volgt. Een agent heeft een minimaal volume. De wisselwerking is aantrekking en afstoting. Als gevolg hiervan kunnen agents fuseren en (indien 2x groter dan het minimale volume) splitsen. Het aantal agents blijft dus gelijk. De parameterset bevat de beweeglijkheid van een agent en de de ratio onderlinge affiniteit / afstoting. Zie verderop ook het Cellulair Potts Model (CPM).

syncyticum (een cel met meerdere kernen: een tussenfase tussen eencelligheid en meercelligheid)

vonoroi diagrammen

Het systeem krijgt de beperking op het gebruik van bouwmateriaal (en indirect het ruimtevolume). Toename van het gebruik van bouwmateriaal leidt tot een hogere ratio affiniteit / afstoting. Dit is helaas een metavariabele. Mieren hebben laten zien dat de oplossing van een korste route in basis door interactie van agents gevonden kan worden.  Idealiter zou ook het minimaal materiaalgebruik als intrinsieke oplossing uit het systeem rollen.

waarneming van elementaire ruimte. De architectonische agents zullen een kluster vormen die de modelleur wederom als een externe structuur analyseert. Dit externe Point of View is een verarming van de dynamiek van het model. Het Point of View zal intern moeten zijn. In dit geval wordt de waarnemer omvat door de elementaire ruimte, de architectonische agent.  Zo ontstaat er een koppeling tussen waarnemer en de elementaire ruimte.

J.J. Gibson beschrijft in zijn boek An ecological approach to visual perception over (visuele) waarneming. Inbedding van een evolutionair ontwikkeld organisme in zijn omgeving speelt een belangrijke rol. Objecten en ruimtelijke eigenschappen worden waargenomen als zij in dezelfde schaal als waarin het organisme is geevolueerd (op decimeter-schaal en niet op milli- of kilometerschaal). Tevens is waarneming een vorm van exploratie, een activiteit. Een waarnemer is altijd in beweging. Beweging van het lichaam en hoofd en de zeer snelle bewegingen van de oogbollen zorgen voor veranderlijke projecties van de omgeving op het netvlies. Het zijn de juist de veranderingen van de visuele input die essentieel zijn voor visuele waarneming.

OpticFlowBird

Het veranderlijke optische veld wordt een optic flow veld genoemd. In feite is dit een vectorveld op een bolvormig projectievlak met de waarnemer als middelpunt. Dit bolvormige veld noem ik in dit verband de eigenruimte.  De eigenruimte is niet overal even belangrijk. Minder belangrijke delen kunnen worden ingedikt en anderen kunnen worden uitgerekt. De eigenruimte wordt zodoende vervormt tot een zogenoemde individuele binnenruimte. Dit is eigenlijk hetzelfde als een architectonische agent. Het punt van observatie blijft per definitie altijd ergens binnen deze ruimte liggen waardoor de binnenruimte altijd van binnenuit wordt ervaren.

interacties van individuele binnenruimtes. Vervormde binnenruimten  zijn ondeelbaar, ruimtelijk en plastisch.  “Vormen van ruimte” zijn natuurlijk architectonisch erg interessant.

frei-klein

Het grensvlak tussen een binnenruimte en de omliggende buitenruimte is plastisch. Het is als een dun vlies makkelijk vervormbaar, beweegbaar en rekbaar. Net zoals een zeepbel. Je zou daarom de architectonische agent als een zeepbel kunnen opvatten. Bekend is dat zeepbellen een vorm zoeken die energetisch optimaal is wat leidt tot een minimale kromming van het oppervlak. Dit wordt een minimaaloppervlak genoemd.

Het clusteren van zeepbellen luistert ook naar deze fysische regel en heeft weerslag op de manier waarop zeepbellen met elkaar clusteren en afhankelijk van elkaar vervormen. Drie zeepbellen staan bijvoorbeeld nooit in een rijtje. Zij vormen altijd hoeken van 120°. Vier of meer zeepbellen vormen ook bindingen met deze hoek. Hieronder zie je de opvallende overeenkomsten tussen zeepstructuren (wit) en clusters van cellen in verschillende stadia van de ontwikkeling van een embryo (gekleurd). Vergelijk in dit verband ook de kortste route tussen 4 punten die mieren hebben gevonden (Steinerpunten).

nature02952-f2.2

De opvulling van ruimte met vervormbare celstructuren levert – in het platte vlak – met een maximale dichtheid en een minimum aan bouwmateriaal – een regelmatige structuur van hexagonalen.

honingraat

Het hexagonale grid kan echter niet verbogen worden tot een 3 dimensionale vorm. Het is wel mogelijk door hier en daar een paar pentagonen toe te voegen. Er ontstaat een overspanning met een platte basis.

Coscinodiscus_excentricus

Is er een regelmatig object dat in het 3D vlak een optimale invulling vormt? Lord Kelvin sprak eind 19e eeuw zijn vermoeden uit dat  dit kan met een 14-vlakkig ruimtelijk object (een tetradecaëder, feitelijk een afgeknotte octaëder (later een Kelvin cel genoemd).

rv_invulling

In de jaren negentig van de vorige eeuw is bewezen dat er een nog efficiëntere ruimte invulling bestaat. Dit wordt de Weaire-Phelan structuur genoemd. De structuur bestaat echter uit 2 verschillende ruimtelijke objecten.

Urban Arches

Is de Kelvin cel of de Weaire-Phelan structuur als minimaalvorm bruikbaar voor een architectonsche agent? Kelvin cellen maken een ietwat starre, repetitieve en saaie ruimtelijke structuur.

kelvincell_volume

De Weaire-Phelan structuur is een stuk interessanter.

PTW_Arup

In de globale ruimte bevinden zich vaak meerdere architectonische agents maar niet zoveel dat het nodig is om de gehele ruimte optimaal te vullen. Er bestaat ook lege ruimte.

In de theoretische biologie worden modellen gemaakt van celmigratie. Dit is een veelbelovend alternatief.

  • cellen zijn bolvormig en vervormbaar
  •  de vorm van cellen wordt voor een groot deel bepaald  door de reductie van oppervlakte spanning en benadert een minimaal oppervlak
  • cellen bewegen / migreren
  • cellen leven in een heterogene omgeving met structuren met diverse eigenschappen
  • cellen interacteren

CPM van 2 celtypen

Deze modellen zijn Cellulair Potts Modellen (CPM).  In dit artikel schrijven theoretisch biologen uit Utrecht over de eigenschappen van CPM modellen en de treffende gelijkenissen met werkelijke cellen, celmigratie en morfogenese. Hoe werkt een CPM?

Een CPM is een gridbased model waarin objecten als een groepje vierkantjes (pixels in een 2D vlak en voxels in een 3D ruimte) vertaalt zijn.

 CPM van 3 cellen (2 typen)

Zo’n groep vierkantjes is een cel. Elk vierkantje hecht met een zekere affiniteit aan een andere vierkantje. Hoe groter de affiniteit hoe meer energie zich in deze binding bevindt. De affiniteit van bindingen in de groepje zelf is nul (de dunne grid lijnen). Het volume van een cel heeft een ideale grootte. Als het volume kleiner is dan het ideale formaat dan bevat deze cel (potentiële) energie. Het CPM zoekt naar een toestand waarbij de energietoestand van hele systeem minimaal is. Het model rekent vierkantje voor vierkantje uit wat de optimale situatie is. Als het model veel pixels omvat ontstaat een globale ruimte waarin groepjes vierkantjes als virtuele cellen clusteren en migreren.

Het is nu niet moeilijk meer om een architectonische agent of een individuele binnenruimte te zien als een groepje voxels dat clustert en migreert in een globale ruimte. Als een agent een andere tegenkomt, ontstaat afhankelijk van ondelinge affiniteit een dynamiek waarin binnenruimten migreren, clusteren, elkaar afstoten of iets daar tussen in. De binnenruimten vormen vanuit de waarnemer een dynamische architectonische ruimte.

Zo leidt wisselwerking tussen architectonische eenheden tot een vorm van adaptiviteit in architectuur. Dit kan bijzondere esthetische mogelijkheden bieden en tevens voordelen hebben in het reduceren van het gebruik van materiaal en ruimte.